丘成桐：数学和中国文学的比较（上）

【作者简介：丘成桐，当代数学大师，现任哈佛大学讲座教授，学术影响遍及理论物理和几乎所有核心数学分支。年仅33岁就获得代表数学界最高荣誉的菲尔兹奖(1982)，此后获得MacArthur天才奖(1985)、瑞典皇家科学院Crafoord奖(1994)、美国国家科学奖(1997)、沃尔夫奖(2010)等众多大奖。现为美国科学院院士、中国科学院和俄罗斯科学院的外籍院士。】

本文载于高等教育出版社“数学与人文”丛书第16辑《数学与生活》，网络转载请注明出处，其他商业机构转载请联系本社。http://academic.hep.com.cn/mh

很多人会觉得我今日的讲题有些奇怪，中国文学与数学好像是风马牛不相及，但我却讨论它。其实这关乎个人的感受和爱好，不见得其他数学家有同样的感觉，“如人饮水，冷暖自知”。每个人的成长和风格跟他的文化背景、家庭教育有莫大的关系。我幼受庭训，影响我至深的是中国文学，而我最大的兴趣是数学，所以将它们做一个比较，对我来说是相当有意义的事。
 
中国古代文学记载最早的是诗三百篇，有风、雅、颂，既有民间抒情之歌，朝廷礼仪之作，也有歌颂或讽刺当政者之曲。至孔子时，文学为君子立德和陶冶民风而服务。战国时，诸子百家都有著述，在文学上有重要的贡献，但是诸子如韩非却轻视文学之士。屈原开千古辞赋之先河，毕生之志却在楚国的复兴。文学本身在古代社会没有占据到重要的地位。司马迁甚至说：“文史、星历，近乎卜祝之间，固主上所戏弄，倡优畜之，流俗之所轻也。”一直到曹丕才全面肯定文学本身的重要性：“盖文章，经国之大业，不朽之盛事。”即使如此，曹丕的弟弟曹植却不以为文学能与治国的重要性相比。他写信给他的朋友杨修说：

吾虽德薄，位为蕃侯，犹庶几戮力上国，流惠下民，建永世之业，留金石之功。岂徒以翰墨为勋绩，辞赋为君子哉。

至于数学，中国儒家将它放在六艺之末，是一个辅助性的学问。当政者更视之为雕虫小技，与文学比较，连歌颂朝廷的能力都没有，政府对数学的尊重要到近年来才有极大的改进。西方则不然，希腊哲人以数学为万学之基。柏拉图以通几何为入其门槛之先决条件，所以数学家占有崇高地位，数学在西方蓬勃发展了两千多年。
 
1. 数学之基本意义
 
数学之为学，有其独特之处。它本身是寻求自然界真相的一门科学，但数学家也如文学家般天马行空，凭爱好而创作，故此数学可谓是人文科学和自然科学的桥梁。
 
数学家研究大自然所提供的一切素材，寻找它们共同的规律，并用数学的方法表达出来。这里所说的大自然比一般人所了解的来得广泛。我们认为数字、几何图形和各种有意义的规律都是自然界的一部分。我们希望用简洁的数学语言将这些自然现象的本质表现出来。
 
数学是一门公理化的科学，所有命题必须由三断论证的逻辑方法推导出来，但这只是数学的形式，而不是数学的精髓。大部分数学著作枯燥乏味，而有些却令人叹为观止，其中的区别在哪里呢？
 
大略言之，数学家以其对大自然感受的深刻程度，来决定研究的方向。这种感受既有其客观性，也有其主观性，后者则取决于个人的气质。气质与文化修养有关，无论是选择悬而未决的难题，或者创造新的方向，文化修养皆起着关键性的作用。文化修养是以数学的功夫为基础，自然科学为辅，但是深厚的人文知识也极为要紧。因为人文知识也致力于描述心灵对大自然的感受，所以司马迁写史记除了“通古今之变”外，也要“究天人之际”。
 
刘勰在《文心雕龙·原道篇》说文章之道在于：
 

写天地之辉光，晓生民之耳目。

刘勰以为文章之可贵，在尚自然，在贵文采。他又说：

人与天地相参，乃性灵所集聚，是以谓之三才，为五行之秀气，实天地之灵气。灵心既生，于是语言以立。语言既立，于是文章着明，此亦原于自然之道也。

《文心雕龙·风骨篇》：

诗总六义，风冠其首，斯乃化感之本源，志气之符契也。

 
历代的大数学家如阿基米德、牛顿，莫不以自然为宗，见物象而思数学之所出，即有微积分的创作。费马和欧拉对变分法的开创性发明也是由于探索自然界的现象而引起的。
 
近代几何学的创始人高斯认为几何和物理不可分。他说：“我越来越确信几何的必然性无法被验证，至少现在无法被人类或为了人类而验证，我们或许能在未来领悟到那无法知晓的空间的本质。我们无法把几何和纯粹是先验的算术归为一类，几何和力学却不可分割。”
 
20世纪几何学的发展，则因物理学上重要的突破而屡次改变其航道。当狄拉克把狭义相对论用到量子化的电子运动理论时，发现了狄拉克方程，以后的发展连狄拉克本人也叹为观止，认为他的方程比他的想象来得美妙，这个方程在近代几何的发展中起着关键性的作用。我们对旋子的描述缺乏直观的几何感觉，但它出于自然，自然界赋予几何的威力可说是无微不至的。 

广义相对论提出了场方程，它的几何结构成为几何学家梦寐以求的对象，因为它能赋予空间一个调和而完美的结构。我研究这种几何结构垂三十年，时而迷惘，时而兴奋，自觉同《诗经》、《楚辞》的作者，或晋朝的陶渊明一样，与大自然浑为一体，自得其趣。
 
捕捉大自然的真和美，实远胜于一切人为的造作，正如《文心雕龙》说的：

云霞雕色，有踰画工之妙。草木菁华，无待锦匠之奇，夫岂外饰，盖自然耳。

在空间上是否存在满足引力场方程的几何结构是一个极为重要的物理问题，它也逐渐地变成几何中伟大的问题。尽管其他几何学家都不相信它存在，我却锲而不舍，不分昼夜地去研究它，就如屈原所说：

亦余心之所善兮，虽九死其犹未悔。

我花了五年工夫，终于找到了具有超对称的引力场结构，并将它创造成数学上的重要工具。当时的心境，可以用以下两句来描述：

落花人独立，微雨燕双飞。

以后大批的弦理论学家参与这个结构的研究，得出很多深入的结果。刚开始时，我的朋友们都对这类问题敬而远之，不愿意与物理学家打交道。但我深信造化不致弄人，回顾十多年来在这方面的研究尚算满意，现在卡拉比{\bzx}丘空间的理论已经成为数学的一支主流。
 
2. 数学的文采
 
数学的文采，表现于简洁，寥寥数语，便能道出不同现象的法则，甚至在自然界中发挥作用，这就是数学优雅美丽的地方。我的老师陈省身先生创作的陈氏类，就文采斐然，令人赞叹。它在扭曲的空间中找到简洁的不变量，在现象界中成为物理学界求量子化的主要工具，可谓是描述大自然美丽的诗篇，直如陶渊明“采菊东篱下，悠然见南山”的意境。
 
从欧氏几何的公理化，到笛卡儿创立的解析几何，到牛顿、莱布尼茨的微积分，到高斯、黎曼创立的内蕴几何，一直到与物理学水乳相融的近代几何，都以简洁而富于变化为宗，其文采绝不逊色于任何一个文学创作。它们轫生的时代与文艺兴起的时代相同，绝对不是巧合。
 
数学家在开创新的数学想法的时候，可以看到高雅的文采和崭新的风格。例如欧几里得证明存在无穷多个素数，开创反证法的先河。高斯研究十七边形的对称群，使伽罗瓦群成为数论的骨干。这些研究异军突起，论断华茂，使人想起五言诗的始祖苏李唱和诗与词的始祖李太白的《忆秦娥》。
 
3. 数学中的赋比兴
 
中国诗词都讲究比兴，钟嵘在《诗品》中说：

 文已尽而意有余，兴也。因物喻志，比也。

刘勰在《文心雕龙》中说：
 

故比者，附也；兴者，起也。附理者，切类以指事，起情者，依微以拟议。起情，故兴体以立，附理，故比例以生。

 
白居易：

 噫！风雪花草之物《三百篇》中岂舍之乎？顾所用何如耳，设如“北风其凉”，假风以刺威虐也，“雨雪霏霏”，因雪以愍征役也······比兴发于此而义归于彼。

白居易批评谢朓诗：

“余霞散成绮，澄江净如练。”丽则丽矣，吾不知其所讽焉，故仆所谓嘲风雪，弄花草而已，于时“六艺”尽去矣。

有深度的文学作品必须要有“义”、有“讽”、有“比兴”，数学亦如是。我们在寻求真知时，往往只能凭已有的经验，因循研究的大方向，凭我们对大自然的感觉而向前迈进。这种感觉是相当主观的，因个人的文化修养而定。
 
文学家为了达到最佳意境的描述，不见得忠实地描写现象界。例如贾岛只追究“僧推月下门”或是“僧敲月下门”的意境，而不在乎所说的是不同的事实。数学家为了创造美好的理论，也不必依随大自然的规律，只要逻辑推导没有问题，就可以尽情地发挥想象力，然而文章终究有高低之分。大致来说，好的文章“比兴”的手法总会比较丰富。
 
中国古诗十九首，作者年代不详，但大家都认为是汉代的作品。刘勰说：“比采而推，两汉之作乎。”这是从诗的结构和风格进行推敲而得出的结论。在数学的研究过程中，我们亦利用比的方法去寻找真理。我们创造新的方向时，不必凭实验，而是凭数学的文化涵养去猜测和求证。
 
举例而言，三十年前我提出一个猜测，断言三维球面里的光滑极小曲面，其第一特征值等于2。当时这些曲面例子不多，只是凭直觉，利用相关情况模拟而得出的猜测。最近有数学家写了一篇文章证明这个猜想。其实我的看法与文学上的比兴很相似。
 
我们看《洛神赋》：

 翩若惊鸿，婉若游龙。荣曜秋菊，华茂春松。仿佛兮若轻云之蔽月，飘飘兮若流风之回雪。

由比喻来刻画女神的体态。再看《诗经》：

 高山仰止，景行行止。四牡騑騑，六辔如琴，觏尔新婚，以慰我心。

也是用比的方法来描写新婚的心情。
 
我一方面想象三维球的极小子曲面应当是如何的匀称，一方面想象第一谱函数能够同空间的线性函数比较该有多妙，通过原点的平面将曲面最多切成两块，于是猜想这两个函数应当相等，同时第一特征值等于2。
 
当时我与卡拉比教授讨论这个问题，他也相信这个猜测是对的。旁边我的一位研究生问为什么会做这样的猜测，不待我回答，卡拉比便微笑地说这就是洞察力了。
 
数学上常见的对比方法乃是低维空间和高维空间现象的对比。我们虽然看不到高维空间的事物，但可以看到一维或二维的现象，并由此来推测高维的变化。我在研究生时期企图将二维空间的单值化原理推广到高维空间，得到一些漂亮的猜测，认为曲率的正或负可以作为复结构的指向，这个看法影响至今。这个问题可以溯源到19和20世纪初期曲率和保角映射关系的研究。
 
另外一个对比的方法乃是数学不同分支的比较，记得我从前用爱氏结构证明代数几何中一个重要不等式时，日本数学家Miyaoka利用俄国数学家Bogomolov的代数稳定性理论也给出这个不等式的不同证明，因此我深信爱氏结构和流形的代数稳定有密切的关系。这三十年来的发展也的确是朝这个方向蓬勃地进行的。
 
事实上，爱因斯坦的广义相对论也是对比各种不同的学问而创造成功的。它是科学史上最伟大的构思之一，可以说是惊天地泣鬼神的工作。它统一了古典的引力理论和狭义相对论。爱氏花了十年工夫，基于等价原理，比较了各种描述引力场的方法，巧妙地用几何张量来表达了引力场，将时空观念全盘翻新。
 
爱氏所用的工具是黎曼几何，乃是黎曼比他早五十年前发展出来的。当时的几何学家唯一的工具是对比，在古典微积分、双曲几何和流形理论的模拟后得出来的漂亮理论。反过来说，广义相对论给黎曼几何注入了新的生命。
 
20世纪数论的一个大突破乃是算术几何的产生，利用群表示理论为桥梁，将古典的代数几何、拓扑学和代数数论比较，有如瑰丽的歌曲，它的
发展势不可挡，气势如虹，“天之所开，不可当也”。
 
韦伊研究代数曲线在有限域上解的问题后，得出高维代数流形有限域解的猜测，推广了代数流形的基本意义，直接影响了近代数学的发展。筹学所问，无过于此矣。伟大的数学家高瞻远瞩，看出整个学问的大流，有很多合作者和跟随者将支架建立起来，解决很多重要的问题。正如曹雪芹创作《红楼梦》时，也是一样，全书既有真实，亦有虚构。既有前人小说、戏曲如《西厢记》、《金瓶梅》、《牡丹亭》等的踪迹，亦有作者家族凋零、爱情悲剧的经验，通过各种不同人物的话语和生命历程，道出了封建社会大家族的腐败和破落。《红楼梦》的写作影响了清代小说垂二百年。
 
《西厢记》和《牡丹亭》的每一段写作和描述男女主角的手法都极为上乘，但是全书的结构则是一般的佳人才子写法，由《金瓶梅》进步到《红楼梦》则小处和大局俱佳。
 
这点与数学的发展极为相似，从局部的结构发展到大范围的结构是近代数学发展的一个过程。往往通过比兴的手法来处理，几何学和数论都有这一段历史。代数几何学家在研究奇异点时通过爆炸的手段，有如将整个世界浓缩在一点。微分几何和广义相对论所见到的奇异点比代数流形复杂，但是也希望从局部开始，逐渐了解整体结构。数论专家研究局部结构时则通过素数的模方法，将算术流形变成有限域上的几何，然后和大范围的算术几何对比，得出丰富的结果。数论学家在研究朗兰兹理论时也多从局部理论开始。
 
好的作品需要赋比兴并用。钟嵘在《诗品》中说：

 直书其事，寓言写物，赋也。宏斯三义，酌而用之，干之以风力，润之以丹采，使味之者无极，闻之者动心，是诗之至也。若专用比兴，患在意深，意深则词踬。若但用赋体，患在意浮，意浮则文散。

在数学上，对非线性微分方程和流体方程的深入了解，很多时候需要靠计算器来验算。很多数学家有能力做大量的计算，却不从大处着想，没有将计算的内容与数学其他分支做比较，没有办法得到深入的看法，反过来说只讲观念比较，不做大量计算，最终也无法深入创新。
 
有些工作却包含赋比兴三种不同的精义。近五十年来数论上一个伟大的突破是由英国人伯奇（B. J. Birch）和斯温纳顿-戴尔（Swinnerton-Dyer）提出的一个猜测。开始时用计算器大量计算，找出$L$函数和椭圆曲线的整数解的联系，然后与数论上各个不同的分支比较接合，妙不可言，这就是赋比兴都有的传世之作。
 
4. 数学家对事物看法的多面性
 
由于文学家对事物有不同的感受，同一事或同一物可以产生不同的吟咏。例如对杨柳的描述就有如下几种。
 
温庭筠：

 柳丝长，春雨细······

吴文英：
 

一丝柳，一寸柔情。料峭春寒中酒······

李白：

 年年柳色，灞陵伤别。风吹柳花满座香，吴姬压酒劝客尝。

 
周邦彦：

 柳阴直，烟里丝丝弄碧。隋堤上，曾见几番，拂水飘绵送行色······长亭路，年去岁来，应折柔条过千尺。

 
晏几道：

 舞低杨柳楼心月，歌尽桃花扇底风。

柳枝既然是柔条，又有春天时的嫩绿，因此可以代表柔情，女性体态的柔软（柳腰、柳眉都是用柳条来描写女性），又可以描写离别感情和青春的感觉。
 
对事物有不同的感受后，往往通过比兴的方法另有所指，例如“美人”有多重意思，除了指美丽的女子外，也可以指君主，如屈原《九章》中的“结微情以陈词兮，矫以遗夫美人”，以及也可以指品德美好的人，如《诗经·邶风》中的“云谁之思，西方美人”，苏轼《赤壁赋》中的“望美人兮天一方”。
 
数学家对某些重要的定理，也会提出很多不同的证明。例如勾股定理的不同证明有十个以上，等周不等式亦有五六个证明，高斯则给出数论对偶定律六个不同的看法。不同的证明让我们以不同的角度去理解同一个事实，往往引导出数学上不同的发展。
 
记得三十年前我利用分析的方法来证明完备而非紧致的正曲率空间有无穷大体积后，几何学家格罗莫夫（M. Gromov）开始时不相信这个证明，以后他找出我证明方法的几何直观意义后，发展出他的几何理论。这两个不同观念都有它们的重要性。
 
小平邦彦有一个极为重要的贡献叫作消灭定理，是用曲率的方法来得到的，它在代数几何学上有奠基性的贡献。代数几何学家却不断地企图找寻一个纯代数的证明，希望对算术几何有比较深入的了解。
 
对空间中的曲面，微分几何学家会问它的曲率如何，有些分析学家希望沿着曲率方向来推动它一下看看有什么变化，代数几何学家可以考虑它可否用多项式来表示，数论学家则会问上面有没有整数格点。这种种主观的感受由我们的修养来主导。
 
反过来说，文学家对同一事物亦有不同的歌咏，但在创作的工具上，却有比较统一的对仗韵律的讲究，可以应用到各种不同的文体。从数学的观点来说，对仗韵律是一种对称，而对称的观念在数学发展中至为紧要，是所有数学分支的共同工具。另外，数学家又喜欢用代数的方法来表达空间的结构，同调群乃是重要的例子，由拓扑学出发而应用到群论、代数、数论和微分方程学上去。

（待续）

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