1. 简介

在丘先生的自传 [2] 的第 20 页, 他提到了他青少年时期想到的一个问题.

问题 1.1. 假设你知道一个三角形的一条边的长度, 一个角, 和一条角平分线的长度. 你能否只用圆规和直尺构造相应的三角形？

注意到一个三角形的一条边的长度, 一个角, 和一条角平分线的长度以 27 种方式构成一个三元组. 由对称性, 只有 5 种三元组是本质上不同的. 对一个三角形 , 这 5 种三元组可以取为:

其中 , , 和 分别为 , , 和 的角平分线的长度.

为了解决这个问题, 我们在第 2 节介绍直尺圆规构造的一般理论. 然后我们在第 3 节重述这个问题并解决它.

2. 直尺圆规构造的一般理论

在本节中, 我们复习在 [1] 中讨论过的直尺圆规构造的一般理论.

规则:

• 在平面上给定两个初始点. 这些点是已构造的.
• 若两个点 , 已被构造, 我们可以画一条线经过它们, 或者画一个圆, 以 为中心并且经过 , 则这样的线和圆是已构造的.
• 已构造的线和圆的交点是已构造的.

点, 线和圆将被称为可构造的若它们可以用这些规则在有限步后得到.

警告: “我们不允许将直尺用于测量. ”

构造 2.1. 构造一条线经过一个已构造的点 并且垂直于一条已构造的线 . 见图 1 和 2.

构造 2.2. 构造一条线平行于一条已构造的线 并且经过一个已构造的点 . 见图 3.

构造 2.3. 在一条已构造的线 上划出一个由两点定义的长度, 以 为端点. 见图 4.

我们在平面上引进笛卡尔坐标使得初始给定的点的坐标为 和 . 我们称一个实数 为可构造的, 若点 为可构造的. 由于我们可以构造垂直线, 这和说 是一个可构造点的 坐标是同一件事. 并且由于我们可以划出长度, 一个正实数 是可构造的当且仅当有一对可构造点 , , 它们之间的距离为 .

引理 2.4 ([1] 的引理 15.5.11)

1. 可构造数构成 的一个子域.
2. 若 为一个正的可构造数, 则 也是.

证明. 1. 我们必须证明若 和 为正的可构造数, 则 , , 和 （若 ）也是可构造的. 在 或 是负的情形的封闭性由此易得. 加法和减法的情形由在一条线上划出长度得到. 对乘法和除法, 我们利用相似直角三角形. 见图 5.

给定一个三角形和第二个三角形的一条边, 第二个三角形可以用平行线构造. 为构造乘积 , 我们取 , 和 , 则 . 为构造 , 我们取 , 和 , 则 .

1. 我们再次利用相似三角形. 我们必须构造它们使得 , 和 . 则 . 我们可以利用圆的内接三角形. 一个圆的以一条直径为弦的内接三角形是一个直角三角形. 所以我们构造一个以 为直径的圆, 然后如图 6 进行.

我们称一个角 为可构造的如果实数 是可构造的.

3. 丘先生的问题的叙述和解答

现在我们可以把我们的问题的 5 种情形 (1) 叙述为:

问题 3.1. 给定两个可构造的实数 , , 一个可构造的角 . 我们能否构造一个三角形 使得 为 的长度, 为角 , 并且 为 的角平分线的长度？

问题 3.2. 给定两个可构造的实数 , , 一个可构造的角 . 我们能否构造一个三角形 使得 为 的长度, 为角 , 并且 为 的角平分线的长度？

问题 3.3. 给定两个可构造的实数 , , 一个可构造的角 . 我们能否构造一个三角形 使得 为 的长度, 为角 , 并且 为 的角平分线的长度？

问题 3.4. 给定两个可构造的实数 , , 一个可构造的角 . 我们能否构造一个三角形 使得 为 的长度, 为角 , 并且 为 的角平分线的长度？

问题 3.5. 给定两个可构造的实数 , , 一个可构造的角 . 我们能否构造一个三角形 使得 为 的长度, 为角 , 并且 为 的角平分线的长度？

问题 3.1 的解答

首先, 由正弦定理, 其中 为 的外接圆半径. 所以由引理 2.4, 为可构造的. 因此, 的外接圆中心 是可构造的.

首先画长度为 的 和 的外接圆中心 ( 有两种对称的取法, 我们取它们中的任何一个), 然后画垂直于 的直径, 垂足为 , 取两个端点中的一个并记它为 (若 , 取 使得 ; 若 , 取 使得 ；若 , 取两者中的任何一个). 记另一个端点为 . 见图 7.

由于 在以 为中心, 以 为半径的圆上, 若它是可构造的, 记 和 的交点为 , 则 为 的角平分线. 令 , , 则 为可构造的. 由于 , 我们有

由于 , 我们有

所以 . 因此, . 由于 , 我们有

由引理 2.4, 它是可构造的.

然后我们画以 为中心, 以 为半径的圆.

情形 1. 若 , 我们得到这个圆和 的两个交点. 画经过 和这两个交点的两条线, 我们得到外接圆和这两条线的两个交点, 这两个交点为 的两种可能性.

情形 2. 若, 我们得到这个圆和 的一个交点. 画经过 和这个交点的线, 我们得到外接圆和这条线的一个交点, 这个交点为 的唯一一种可能性.

情形 3. 若 , 我们得不到这个圆和 的交点. 这样的三角形不可以被构造.

注意到

问题 3.2 的解答

和前面类似地, 首先画长度为 的 和 的外接圆中心 . 若 是可构造的, 画以 为中心, 以 1 为半径的圆. 然后在 上以 为端点划出长度 , 即 . 然后画经过 且垂直于 的线, 记这条线和以 为中心, 以 1 为半径的圆的交点为 ( 有两种取法, 我们可以通过比较 和 来确定它). 则线 和 的外接圆的交点为 , 因此这样的三角形是可构造的. 反之, 若这样的三角形是可构造的, 在 上以 为端点划出长度 1, 即 . 然后画经过 且垂直于 的线, 垂足为 , 则 是可构造的.

因此, 在这一情形, 这样的三角形是可构造的当且仅当 是可构造的, 或等价地, 由引理 2.4, 是可构造的. 见图 8.

由于 , 我们有

由于 , 我们有

注意到 和 . 由于 , 令 , 则我们有

和

因此,

所以 . 因此,

所以

令 , 则

平方并展开这个方程, 我们得到

令 , 则 是可构造的当且仅当 是可构造的, 且

由 [1] 的定理 15.5.6, 一个实数是可构造的当且仅当它在 的一个累次二次扩张中, 即它是一个次数为 的幂的代数数. 所以我们希望将 (15) 中的四次多项式分解成两个具有可构造系数的二次多项式的乘积.

一般地, 对一个具有可构造系数的四次多项式 , 我们引入一个任意的参数 使得

我们的目标是找到 使得 (16) 中的第二项是一个完全平方. 这背后的逻辑是若第二项是一个完全平方, 则 (16) 变成两个平方的差, 即 的两个二次多项式的乘积. 由于 (16) 的第二项是 的一个二次多项式, 我们知道它是一个完全平方当且仅当它的判别式为 0:

若 (17) 有一个可构造的解, 则 (16) 成为

进而 可构造. 代入 , , 的值, (17) 成为

因为 (19) 是 的一个具有可构造系数的三次多项式, 一般地, 这样的 不是一个可构造数. 因此, 一般地, 不可构造. 但若 (19) 的系数满足一定条件, 则 (19) 有可构造的解. 比如若 , 则 是 (19) 的可构造的解.

问题 3.3 的解答

首先画长度为 的 和一个以 为中心, 以 1 为半径的圆. 然后在 上以 为端点划出长度 , 即 . 然后画经过 且垂直于 的线, 记这条线和以 为中心, 以 1 为半径的圆的交点为 ( 有两种对称的取法, 我们取它们中的任何一个). 则 位于线 上.

和前面类似地, 若 是可构造的, 则 是可构造的. 画 的外接圆中心 ( 有两种取法, 我们可以通过比较 和 来确定它). 则线 和 的外接圆的交点为 , 因此这样的三角形是可构造的. 反之, 若这样的三角形是可构造的, 则 是可构造的.

因此, 在这一情形, 这样的三角形是可构造的当且仅当 是可构造的, 或等价地, 由引理 2.4, 是可构造的. 见图 9.

若 为 的角平分线, 画 和 . 则 , . 由于 , 我们有

另一方面, 我们有

所以我们得到

因此,

令 , , 则, 且

因此,

平方并展开这个方程, 我们得到

由 [1] 的定理 15.5.6, 一个实数是可构造的当且仅当它在 的一个累次二次扩张中, 即它是一个次数为 的幂的代数数. 但 (26) 是 的一个具有可构造系数的六次多项式. 因此, 一般地, 不可构造. 但若 (26) 的系数满足一定条件, 则 (26) 有可构造的解. 比如, 若 , 则 是 (26) 的可构造的解.

问题 3.4 的解答

和前面类似地, 首先画长度为 的 和线 使得 . 画 的角平分线和以 为中心, 以 为半径的圆, 记它们的交点为 (我们取 使得 位于 内). 则线 和 的交点为 . 所以这样的三角形总是可以被构造.

问题 3.5 的解答

和前面类似地, 首先画长度为 的 和线 使得 . 然后画以 为中心, 以 为半径的圆.

情形 4. 若 , 则我们得到这个圆和线 的两个交点 , . 分别画 关于两条线 和 的 反射点 , . 则线 和 () 的交点为 的两种可能性.

情形 5. 若 , 则我们得到这个圆和线 的一个交点 . 画 关于线 的反射点 . 则线 和 的交点为 的唯一一种可能性 ().

情形 6. 若 , 则我们没有得到这个圆和线 的交点. 这样的三角形不可以被构造.

致谢

作者由清华大学水木学者计划支持.

参考文献

[1] M. Artin. Algebra, 2nd ed. Boston: Pearson Prentice Hall, 2011. [2] S.-T. Yau and S. Nadis. The Shape of A Life. Yale University Press, New Haven, CT, 2019. 中文版: 《我的几何人生: 丘成桐自传》, 译林出版社, 2021 年.